Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 53 



Tenons maintenant {x , y , z) fixe en Q du «côté réel» de 7^ 

 (fig. 4) et faisons varier ô en commençant en ô < ôi . La courbe vari- 

 able de la fig. 4 b glissera au-dessus de Q , qui va traverser l'intérieur 

 de l'angle de rebroussement dans la direction de droite à gauche en 

 amenant la détermination des arguments que donne la fig. 4. On en 

 tire que pour ô = ôj 



3 _ 2£ri 3 _ _ 2ni . 3_ 



= 0, e'= — 2.T. u=Vr, v=e'^ Vre '^ = Vr 



et que pour ô = ou 



e = ?i , 6i' = — Stt, u = \re''^ , ■y = Vre ^ 



lui 



u = ve^ -çv ^ ß.2 = ß^ . 



La représentation des racines par les formules 17 — 20 établit donc bien 

 les permutations de la fig. 4 b. En dépassant ou , les valeurs réelles de 



3 3 



Vm' , Vu^ s'appellent 



e^ u = çu , e'^ V = ç^v , 



valeurs toutes les deux négatives pour 



xZ + ,uô< 0, ö + Td< 0. 



La branche réelle est maintenant ß^ , conformément aux stipulations 

 initiales. 



D'autre part, soit le point fixe Q' voisin du côté complexe de /a . 

 Pour une valeur ô réelle, l'équation lU) nous définit deux valeurs u, v 

 réelles, telles que 



u > V 



et que ß^ et ß^ sont à partie imaginaire positive. Partons de l'axe 

 réelle des ô vers l'un ou l'autre demi-plan complexe jusqu'aux points 

 de ramification complexes. D'après 18) on y a 



li'i = i;3 = -I- imaginaire pur 

 selon que 



xZ + iuô = + imaginaire pur . 



