Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 55 



§ 5. 

 Les intégrales F^^s et la solution fondamentale F. 



13. On intègre, dans la formule V), les mêmes branches bien 

 définies, dune fonction algébrique de â aux paramètres x^ y , z, n. 

 Il ^'ient 



ißv, 



-^■nr{ß,,o)-yfr{ß,,o] 



Les intégrales sont étendues le long de lacets joignant certains 

 points de ramification à l'infini, et pour chaque lacet on tiendra 

 compte des branches /?„ qui s'y permutent. 



L'intégrale M, abélienne de première espèce, reste en général 

 finie et continue pour des valeurs arbitraires de l'espace réel. Il sera 

 donc en général loisible de mettre f = dans Yl), définissant ainsi 

 une valeur limite F„^^ , valable aux points arbitraires de l'espace réel, 

 avec la restriction pourtant que l'existence des plan P„ peut introduire 

 dans le choix des branches /3„. Il faut faire exception pour les points 

 de r et de Is, dans lesquels un ô^ se confond, pour f = 0, avec un 

 autre point de ramification. 



Faisons s'approcher ^5^ du point Ô2 dans le demi-plan inférieur. 

 On est mené, pour le voisinage des deux points, à des intégrales 

 des types déjà étudiés au chapitre II. D'abord, en vertu du n" 22, 

 une telle intégrale reste régidière au passage de la surface I^. 



D'autre part, soit un point de J", p. ex. de la catégorie H < 

 avec x > 0. En vertu du tableau B, l'expression VI) contient du côté 

 réel le lacet 





1 



/ 



2 



entourant la plus petite des deux 0. et mené p, ex, parallèle à l'axe 

 réel; on aura à prendre des valeurs négatives du radical intégré sur 



