Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 57 

 nous mène à 



<du dîi 



2«' w^ ' 



et dans cette expression, ô changeant de signe en même temps que 

 X, on a trouvé une discontinuité de même signe des deux côtés de la 

 courbe de contact. Mais la Hessienne 



devient, pour ju = , la Hessienne d'une surface cylindrique en ^^ , -^ , 

 savoir de 



Hessienne qui par conséquent s'annule, et cela d'ailleurs, par un calcul 

 facile, de Tordre f.i". On a donc bien 



H' restant fini pour ô = ce , et on revient, comme il est bien nécessaire, 

 au même saut brusque, pris dans le même sens des deux côtés de la 

 courbe de contact. 



15. Pour l'expression de la solution fondamentale on pourrait 

 partir de la formule P'**, en la réduisant le plus possible par des mé- 

 thodes analogues à celles du chapitre III. Il est cependant facile de 

 remplacer ce calcul par l'intégration directe des dérivées -P„_3. On 

 vérifie sans difficulté que 



„ ^ i f n 'y {a,x + ßy-\-zi- ôuf-' log {a,x -\- ßy+z + ou) 



'" I6|^î^7i^J J j^ /i(«.,^,<5) + 



VII. ~°° "°° 



V (a,x + ßy + 2 + au)"-' log {a,x -{-ßy + z + ou) ] 



mène, pour la dérivée générale d'ordre n — 3, à l'expression 10) du § 1. 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. ö. N:o 4. Impr. '«/s 1921. 8 



