FIqUATIONS aux DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 59 



Ici, ô,.i sont certains points de ramification qui dépendent de è" et qui 

 sont tels que 



(5,,| = â, pour i' = . 



Les parties imaginaires de ces points de brancliement se déterminent 

 d'après les principes des §§ précédents; on retrouvera pour § = les 

 mêmes branches qu'à ces endroits; en effet Talgébre de la fonction 



/( 



S-ß'J-^--ä» ß ^) 



v. I 



X 



est celle d'un /*'" avec la variable z remplacée par 



et nous venons de voir que la détermination des branches se fait 

 d'une manière unique et bien fixée pour tout l'espace réel. 



L'expression est donc précisée sans ambiguïté; par sa dérivation 

 on retrouve d'ailleurs facilement les fonctions VI du n" 13, En faisant 

 f = 0, il vient donc que: 



L'intégrale fondamentale dune équation essentiellement réelle est 

 foîirnie par une intégrale abélienne double^ de première espèce pour des 

 X , y , z arbitraires. La formule VIII montre qu'elle est partout finie et 

 continue, ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre n — 4 inclusivement, 

 dans l'espace entier réel, y inclus les points de la caractéristique, où 

 ses dérivées d'ordre n — 3 deviennent infinies d'ordre logarithmique. 



Par la discussion du § précédent nous savons que les lacets 

 intervenant dans nos formules se définissent toujours d'une manière 

 unique et que les fonctions algébriques intégrées le long de ces lacets 

 sont toujours choisies de la même manière, indépendante de la varia- 

 tion de (a; , 7/ , z). De là enfin cette conclusion générale : 



Vintégrale fondamentale et ses dérivées sont des fonctions uniformes 

 et monogènes dans Vespace réel correspondant à une valeur u positive ar- 

 bitraire. 



De plus on reconnaît facilement que la formule VIII est encore 

 valable pour « < à condition de la prendre avec le signe contraire. 



