Equations aux deeivees partielles a quatre dimensions etc. 65 



le chemin d'intégration des â tournant toujours d'une façon définie autour 

 du pôle double (5 = 0. Or, la surface étant parallèle à r, on a 



cos (r, x]o^a, cos (r, y)^ß, cos (r, ^^) c/D 1 , cos (r, u)^ô, 



et, dans les points singuliers, la fonction intégrée se trouve multipliée 

 par le facteur 



COS {r, xît^ + cos (r, y)U^ + COS (r, z)]^ + COS (r, u)f^ c/5 /(«, ^, ^) = , 



qui s'annule du premier ordre. On a donc des intégrales continues 

 sur r, et l'intégration étendue sur les deux surfaces, aux directions 

 normales contraires, donnera un résultat zéro. 



Cela posé, on peut faire disparaître l'intégration momentanément 

 introduite. Considérons p. ex. les conditions dans l'espace des (*' , y , z). 

 En donnant un petit accroissement quelconque à ?< , la projection de r 

 dans l'espace u se déplacera dans l'un ou l'autre sens, transportant 

 avec elle les valeurs continues des intégrales 9). On retrouvera la 

 même dérivée indépendamment du sens dans lequel on fait varier 

 la variable u. 



20. Quant à l'intégration le long du tube entourant l'axe des z«, 

 on y a 



cos (iV , ?<) = , 

 et on est ramené à étudier l'intégrale 



31) 0(m — «0, q) = j(cos (p, .ro)Fi + COS ((>, yQ)F^ + cos (p, z,) F^)<fclo 

 étendue sur la surface de la sphère o 



{x — x^f + {y — y,;)" + {z — zf = ç'- . 



Choisissons pour q une valeur fixe, très petite, et considérons 

 l'expression ci-dessus pour des u variables. Tout d'abord, elle est 

 une fonction continue de u. 



En effet, une discontinuité ne peut provenir que de l'intégration 

 sur o à travers la section par r. Soit donc t la trace de r sur n , 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. "/3 1921. 9 



