Chapitre V. 



Équations essentiellement réelles possédant des 

 plans singuliers. 



§ 1. 

 Variation de Fö à travers un plan double. 



1. Dans le § 3 du chapitre II nous avons étudié l'algèbre d'un 

 plan tangent double dû à un point conique de la surface f. Pour la 

 classe d'équations qui nous occupe ici cette discussion se complète 

 dans un détail important. Notons que la conique 6, courbe de contact 

 avec P, est nécessairement une ellipse. En effet, l'équation approximative 



fuô" + ^ô%,a' + f,,ß') + f,y' + 2f,,a'ß' + /,,/S'2 = 

 doit toujours donner deux racines ô' réelles. Il faut donc que 



«lA - A1/4J + ^^'ß'iU-u - Uu) + ß'%fL - /22/44) 



soit une forme positive, savoir que 



(/u/24 - /12/44)' - ifu - /1/44)1/14 - /22/44) < , 



ce qui, par référence à l'équation de C5, prouve la proposition. 



2. Aux points du plan double on a 



/l=/2-=/3 = /4-0, 



les parties imaginaires des branches réelles disparaissent et nos in- 

 tégrales deviennent indéterminées. Il faudra donc fixer leurs valeurs 



