Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 69 



en s'approchant du plan de l'un ou de l'autre coté. La discussion pré- 

 sentera certains points assez délicats, dont l'éclaircissement demandera 

 avant tout une conception bien nette du mécanisme du cône tangent. 

 Supposons que l'axe des z passe en dehors de l'ellipse centrale et 

 reportons-nous à la fig. 5 de la première partie poiu' avoir la forme 

 du cône Fc franchissant en partie le domaine hyperboloïdt; autour du 

 point double 0. Par la symétrie de l'arrangement ce cône possède 

 deux arêtes de rebroussement, et deux de ses branches se rencontrent 

 dans la génératrice par pour toucher ensuite la nappe intérieure de 

 la surface. On a donc, dans une section arbitraire, (menée par simpli- 

 cation par le point double) des traces de la forme des fig. 5 — 6. 



Dans ces figures, les branches telles que AÄ' sont provenues de 

 génératrices de la catégorie OA (voir fig. 2), et les branches BB' et 

 BG {B'C) sont engendrées par des génératrices Oß, OG respective- 

 ment. On a pour 



AÂ\ H<0, i(>0 



BB' , B<P, B''P, iî>0, ;f $0 

 <PG, 4>G' , iZ<0, ;f50, 



et les OA , OB , OG sont des tangentes de F, définies par la supposition 

 que soit supérieur au point ë par où l'axe des 2 pénètre le plan 

 double. Cherchons maintenant à poursuivre la déformation du cône 

 en faisant marcher d'une position très peu au-dessus de 5 à une 

 nouvelle positition immédiatement au-dessous de ce point. Nous consi- 

 dérons deux cas. 



a) La section œupe Vellipse (§,. En s'approchant, par la marche 

 de vers 5, du plan double, OA reste tangent à un domaine elliptique 

 de r et servira par conséquent à former partie d'une branche AA\ évi- 

 demment, d'après la fig. 3, au-dessus du domaine central elliptique et 

 tournant son côté concave vers la face supérieure de ce domaine. 

 Quand OA, pour — 5, passe par la position G^G., dans le plan double, 

 on aura toujours à définir la connexion des branches par déplacement 

 continu des point de contacts respectifs. Donc après le passage, OA 

 devient tangent au domaine hyperbolique de F pour appartenir à une 

 branche de cône de l'autre catégorie, concave vers la face inférieure du 



