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devant prendre le signe +? d'après la règle fondamentale, selon que x ^0 

 pour les courbes en question. L'expression analogue en Q" se prendi-a 

 avec le signe contraire, ;; étant ^0. 11 s'ensuit que l'intégrale réelle 

 augmentera par la période associée aux deux points de ramification ôi ô^. 



b) Q2 (fig. 6) extérieur à (J. est voisin de A^ A/. Le balayage 

 dans ce cas est fourni de la même façon pour les deux faces du plan par 

 deux courbes marchant dans la même direction, d'abord par une courbe 

 iî < , ;f > et ensuite par une courbe de l'autre catégorie. Les 

 branches s'appellent Ô2 , ô^ , mais l'intervalle entre Ô2 et Ô3 est 

 maintenant imaginaire, correspondant au signe positif de la Hes- 

 sienne H{x, y, 5, u) du plan double. 



La fig. 5), quoique moins claire dans ces détails, fait voir que 

 les points voisins de A^C^^ soit de C'^A',, sont assujettis aux mêmes 

 conditions. Le résultat 6) est donc valable pour tous les points exté- 

 rieurs à G' et inclm dans le secteur LzL'. 



§ 2. 

 L'intégrale Fn—3 au voisinage du plan double. 



En un point arbitraire, voisin du plan double, on a, d'après le 

 n-' 10, chapitre 11, pour f = 



1) xf^ — yf, = X iJy = X iRZ^ + 2QZÔ- + Pô''' . 



Projetons dans le domaine complexe. Le terme imaginaire in- 

 troduit dans l'équation F""'^) du n° 1) aura un signe fixé par les règles 

 du chapitre précédent. 



Or, nous venons d'admettre que le passage d'une génératrice 

 particulière par le plan double correspond au passage du point de 

 contact, d'une manière continue, à travers la courbe 6. Donc, puisque 

 y, et H changent de signe à la fois, la partie imaginaire de ô 

 conserve le même signe des deux côtés du plan, et l'énoncé du n'^ 10, 

 chapitre IV se complète de manière à rester valable même si {x , y , s) 

 franchit un plan singulier. 



