Equations aux deeivees paetielles a quatee dimensions etc. 75 



part faisons marcher Q' dans la position Qj ; 0^ et ô^ sont devenus 

 réels de nouveau et on a 



(Çj) ôi , Ô2 1 ôi -a. partie imaginaire positive 



ds » » » négative. 



Quand Qj passe à travers le plan double à la gauche de 6\ , ôi et ^4 

 coïncident; J'„_3 reste cependant continu, puisque dans la somme de lacets 

 les points confotidus figurent tous les deux; les deux lacets correspon- 

 dants deviennent équivalents à la période (d'ailleurs imaginaire) relative 

 aux deux points. 

 6. Pour 



Q' — PR<0 



on se trouve à l'extérieur du secteur L:L' . L'équation 



4. = 



donne deux points de ramification complexes et conjugués, qui pour 

 Z=0 coïncident accidentellement en une valeur réelle commune. On 

 revient: ainsi à un seul lacet entourant l'un de ces deux points, et ce 

 lacet, emprisonné entre les points confondus, fournira en apparence 

 une singularité logarithmique réelle pour Z = . Or, il est évident 

 qu'un tel état des choses est impossible, puisque la forme du secteur 

 LzL' dépend du choix accidentel de l'ordre d'intégration adopté. 



Pour l'explication, il faut se reporter aux fig. 5, des cônes Fö • 

 Dans les cas étudiés aux n"* précédents on n'avait à tenir compte, par 

 rapport à un cône particulier, que d'une seule branche ß , inter- 

 venant dans l'expression 2) et donnant, pour le domaine réel, le vrai 

 signe au radical xf^ — î//^ . Il en est autrement dans le cas présent. 

 Par tout point extérieur Q, , suffisamment voisin du plan double, il est 

 possible de mener deux tangentes réelles à une courbe quelconque 

 voisine du plan double, et ces deux tangentes restent réelles pendant 

 la variation des courbes à travers ÄiÄ'i , et elles ne se confondent 

 pas, sauf par accident, quand = 5 et que Q,. se trouve sur le pro- 

 longement de AiA'i . 



Montrons que si Vune de ces deux branches rentre dans l'expression 

 de i\^ „_3 , l'cmtre y figure aussi. Soit par exemple les tangentes ß^ et 



