76 Nils Zeilon, 



ß.^ de la fig. 5), ß.^ tangente à hh' avec ;? > , ai ß^ à aa' avec ;? < . 

 Les deux courbes aa' et hh' infiniment voisines donnent nécessaire- 

 ment le même signe à 



car autrement cette fonction disparaîtrait sur le plan double. Cela 

 posé, les régies du chapitre IV donnent k ß,^ ei k ß^ des parties ima- 

 ginaires de même signe. 



Mais ces deux branches touchent des courbes correspondant à 

 des y. de signes contraires; l'intégration le long de Taxe réel des ô 

 doit donc introduire des valeurs de signes contraires de 



^ft — yfi 



pour ces deux branches. Il s'ensuit que, pour f = , on a retrouvé 

 au voisinage de d' = , les dexix branches: 



ß's'W\dß'±y^n^ 

 dß" 



se confondant pour Z = , (5' = . Pour le lacet autour du point de 

 ramification complexe le radical VJjr figurera dans deux termes aux 

 signes contraires, et l'intégrale restera bien finie. 



Une dérivée F„_q est donc continue en tout point du plan double en 

 deJiors de Fellipse ® . 



6. Le caractère singulier du plan double se vérifie d'ailleurs 

 par les formules du § 2, chapitre III. En y mettant a = , les équa- 

 tions 21) et 23) donnent immédiatement une intégrale, continue pour 

 H > , deux singularités logarithmiques réelles se détruisant mutuelle- 

 ment, et discontinue pour H < d'une manière qu'on peut décrire 

 comme l'effet de deux singularités du type elliptique confondues et 

 ajoutées l'une à l'autre. 



Ces circonstances s'interprètent immédiatement par la concep- 

 tion du plan double comme un cas limite Au lieu de 



f{a,ß,o)^0 



