Equations aux deeivees partielles a quatre dimensions etc. 77 



écrivons 



5) /(a, ^, d) + 2^' = 0. 



Le développement approximatif du n° 6, deviendra 



6) Ai«'2 + /,,^'2 + /,,<5'^ + X2 = 0, 



donnant pour /"44 < , deux racines ô réelles. On se trouve donc dans 

 le 2'^'"'' cas du § 3. Au voisinage de r< , ^ , 3 , les F„^s doivent se 

 comporter d'une manière analogue à l'intégrale de la fonction de Kiech- 

 HOFF construite au § cité. Or à 6) correspondra une caractéristique 

 en forme d'ellipsoïde 



111 /22 ^" /44 



très aplatie, se rapprochant infiniment du plan Z = pour A = . 



Par la substitution 5) on a donc fait disparaître le plan double. 

 Une analyse facile, étendue aux termes de 3'""" ordre, montre qu'au 

 voisinage de la courbe parabolique originale la nappe extérieure de f 

 passe graduellement dans la face supérieure de l'ellipsoïde et forme 

 avec elle une seule nappe extérieure continue, complètement séparée 

 de la nappe intérieure, laquelle est constituée par le domaine à courbure 

 hyperbolique communiquant avec la face inférieure du disque ellipsoï- 

 dal à travers une arête de rebroussement en forme d'ellipse plane. 

 Une section à travers la surface modifiée donnera donc une section 

 ressemblant beaucoup aux tracés des cônes Få dans les figs 5, 6. 



Or, en vertu du n" 14. chapitre III, les faces supérieure et in- 

 férieure de l'ellipsoïde possèdent un ;; ^ respectivement. Les sauts 

 brusques correspondants sont donc positifs dans la direction des Z 

 croissants, et en pénétrant le disque leur somme donnera bien la dis- 

 continuité double. 



Remarquons finalement que les signes des discontinuités au 

 passage de /' ou d'un plan double, se fixent toujours par les signes 

 de H et de ;f, indépendamment du signe de u. En effet, le signe du 

 radical xf^ — yf^ à choisir dépend de H et du produit xu . Or, pour 

 M < , l'intégrale VI discontinue se prend avec le signe contraire; on 

 revient donc à la même loi pour » ^ , 



