Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 85 



§2. 

 La surface de Fresnel. Disposition des points de ramification. 



4. La formation des intégrales de notre problème exigera la 

 connaissance préliminaire de la manière dont les signes des fonctions 



7) H, y., 



8yS2 



sont repartis sur la caractéristique. Dans ses traits généraux cette 

 question est résolue par les propriétés classiques de r. On sait que 

 c'est une surface à deux nappes, à quatre points doubles coniques 

 réels, partout convexe sauf pour ces domaines de la nappe extérieure, 

 de forme hyperboloïde, qui entourent les points doubles. Un tel do- 

 maine, à courbure hyperbolique, est limité par la courbe circulaire 

 de contact avec l'un des quatre plans doubles. Ainsi la Hessienne 

 H , en général négative., change de signe à travers les quatre cercles 

 paraboliques, pour prendre des valeurs positives sur les parois de 

 chaque cavité. La nappe intérieure étant convexe, H change aussi 

 de signe en allant de l'une à l'autre nappe à travers un point double. 



Quant à y. , nous avons vu que cette fonction s'annule et change 

 de signe en franchissant un des cercles 6. Partout ailleurs les /j , /g , 

 etc., restent de signe constant; y ne s'annule donc en aucun autre 

 point. Il faut noter cependant que, par la symétrie des choses, la 

 section de F avec le plan s = fournit la courbe de contact avec le 

 cône r^. Il s'ensuit qu'en traversant ce plan y change de signe en 

 passant par des valeurs infinies. 



Vient finalement la troisième des fonctions 7). Dans une section 

 arbitraire menée par l'axe des z, elle ne s'annule que si la section 

 coupe un domaine à courbures opposées, auquel cas elle change de 

 signe aux deux points d'inflexion communs à P et à la branche 

 correspondante de /^ . 



On a ainsi une connaissance assez précise des lieux géomé- 



triques qui font changer de signe aux fonctions y et -^âr • Pour 



décider du choix à faire en un point arbitraire, il suffira de considérer 

 une section particulière. 



