90 Nils Zeilon, 



les permutations associées de cette façon aux ôjj , ôm déplacés, sont 

 essentiellement définies en prolongeant les branches ß à partir d'un point 

 ô = a , réel au voisinage de la valeur réelle commune des on , oui f<^< 'mo- 

 ment du passage à travers I^ . On peut interprêter ce fait d'une manière 

 qui importera pour certaines conclusions dans la suite. Joignons on 

 à un point h à la droite de on- , V^^" un lacet direct au-dessus du 

 point à partie imaginaire positive ôiv , mais tel qu'il n'y ait aucun 

 autre point de ramification entre le lacet et l'axe réel. A partir de b, 

 ce lacet est équivalent au lacet entourant IV (2, 4) suivi du lacet 

 passant par a autour de II (3, 4) en combinaison avec le lacet (2, 4) 

 décrit de nouveau dans le sens contraire. Le chemin ainsi obtenu 

 permute évidemment les branches ß^ , ß^ . 



Cela posé, cherchons à identifier les deux paires de racines ô 

 conjuguées qui nous restent encore à retrouvei-. Il est naturel de 

 présumer que ces points doivent être associés aux deux autres branches 

 de la surface des tangentes d'inflexion. Ainsi faisons procéder Q' 

 vers 1^,1 , tout en restant à l'intérieur réel de Ijy , I^y . En arrivant 

 dans une position Q'" à la gauche de I.^g et à la droite de I^,i on 

 verra apparaître deux nouvelles racines ôja--, ôa- dont les tangentes 

 touchent la cavité inférieure droite. Ces deux points sont distincts des 

 8 points considérés jusqu'ici. Car autrement on aurait évidemment 

 retrouvé de nouveau les an , àm devenus complexes au passage de /,,; . 

 Or, en retenant l'imaginaire it , un point de ramification individuel se 

 définit partout dans l'espace des (x , ?/ , z) réels par prolongement ana- 

 lytique bien défini et se représente sans ambiguïté par une même 

 tangente bien fixée dans tout domaine où le point est réel. Restons 

 donc du côté réel de I^a et marchons vers Q^^ du côté réel des deux 

 tangentes l^a , I^a ; les tangentes IX et X sont assurément distinctes 

 des tangentes se permutant sur 1-^,1 , 1^,1 . 



Quant aux branches permutées par ôj.x . ô.x il faut seulement 

 un peu de précaution pour appliquer la fig. 9 b. Les tangentes IX 

 et X appartiennent manifestement à la nappe supérieure d'un Få à 

 sommet négatif\ s'eloignant vers Vinfini négcdif acec des S croissa^Us. La 

 trace dessinée variable sera toujours celle de la fig. 9 b, mais avec 

 une différence importante: c'est que dans les points correspondajits on 

 a partout changé le signe de x, tous les points de contact des géné- 

 ratrices qui interviennent étant du côte des z <0. Les signes des autres 



