Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 101 



On a les conditions analogaies dans le cas complexe. Soit (x, z) un point 

 arbitraire du plan // = , et prenons la droite menant au point double 



A = CM V ^2_ çi , Z = au y ^2_ ^2 , 



coupant l'axe des z en : = — au . L'équation de cette droite sera 



z + âu Z+du 



L'introduction de 



ßy + z + du Z+ d'il 

 a = — = r^ — 



X X 



montre par un calcul élémentaire que 



i2(«) = 

 fournit bien deux racines ß^ égales 



KV(fl^ + b^] + a^b^ + c') — d\c' + a') 



a ayant la valeur 11). L'expression 12) est positive si 



Va? — â . b^ \rcL' 



a^— c" 



et négative en tout autre cas. 11 s'ensuit que les racines ß ne sont 

 réelles sur la droite double que si 



(?! , G^ étant les valeurs correspondant aux tangentes à la section 

 de /' par le plan double. On se trouve donc alors dans le cas réel 

 dont nous venons de faire mention. 



Au contraire, toute droite double isolée mène à une valeur ß^ 

 négative. On a donc alors une paire de valeurs ß égales à partie 



