102 Nils Zeilon 



imaginaire positive, et une autre paire de ß confondus à partie iiuagi- 

 naire négative. On en conclut que l'un des points de i-aniification 

 coïncidants permute ß^ avec ß.^ et l'autre /i, avec ß^ . 



Le ' caractère singulier du plan y = est ainsi représenté par les 

 relations symboliques 



â{Z , 4) = d{\ , 2) 

 pour les points réels et 



cV(2 , 3) = ()'(! , 4) 



pour les points complexes. 



Dans ces relations les branches sont d'abord définies à partir 

 d'une valeur â réelle au voisinage de la valeur commune des deux 

 points confondus. Ainsi, au cas complexe, on a prolongé les ß en 

 partant d'un intervalle à 4 branches complexes. 



Or, en se reportant aux diverses figures ci-dessus, on reconnaît 

 de suite qu'une telle stipulation est équivalente à celle de partir d'un 

 intervalle à 4 branches réelles. Ainsi, dans la fig. (q) p. 95., déplaçons 

 b dans l'intervalle complexe à la gauche de I; un tel déplacement 

 mettra en jeu les lacets successifs (2 4), (2 4), (3 4) (1 2) et chan- 

 gera un lacet du type (2 3) en un lacet du type (i 4) et inversement. 



14. L'existence des points doubles a donc rendu particulière- 

 ment facile l'identification des points de ramification dans ce plan. 

 D'une manière analogue on sait que le plan x = contient 4 points 

 doubles complexes. En raisonnant sur la fonction algébrique a, dont 

 les points de ramification sont identiques à ceux de /?, on conclut que 

 toute droite joignant un point arbitraire (0, y, z) à l'un de ces points 

 complexes coupe l'axe des z en un point complexe 2 et que les 4 

 valeurs complexes d = — ni sont des valeurs doubles des 8 points de 

 ramification complexes. On aura encore deux valeurs égales non nulles 

 de a^; les deux a correspondant à l'un des points confondus sont donc 

 à parties imaginaires de même signe, de manière que 



()'(!, i) = â{2, 3) 



aux 4 points en question. Ces points étant distincts, on a donc re- 

 trouvé l'ensemble des points de ramification complexes. Dans cette 



