Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 103 



dernière relation symbolique le choix des branches pour des valeurs 

 réelles de f)' reste d'abord indéterminé. Or, faisons varier {x , y , z) 

 librement dans l'espace extérieur; la valeur commune des deux ß au 

 point de branchement complexe, variant avec {x , y , 2), retiendra une 

 partie imaginaire de signe constant, tant qu'on reste du même C(jté de 

 a; = 0, et tant que reste complexe, puisque des valeurs réelles confondues 

 de /S et de a définissent toujours un point de ramification réel. On déplacera 

 donc ô avec les deux branches confondues, retenant au voisinage de 

 ô leurs parties imaginaires de même signe, jusqu'à arriver en une 

 position (a: , y , z) où ô devient réel. 



Le plan {x = 0) , d'où nous sommes partis, passe à l'extérieur 

 de l'angle contenant les branches I^ . Un resultat constaté à une occa- 

 sion antérieure nous a fait retrouver des points de ramification com- 

 plexes dans ce domaine. En effet, par le § 6 du chapitre V, deux 

 racines (T, complexes ailleurs, deviennent réelles et égales sur le sec- 

 teur extérieur d'un plan double. On a vu alors que les deux points 

 de ramification confondus permutent les mêmes branches ß réelles, 

 affectées de petites parties imaginaires de même signe, et que la va- 

 leur réelle commune des deux J" est située dans un intervalle à 4 

 branches [i réelles. Toutes ces conditions se représentent immédiate- 

 ment en faisant circuler (,r , 7/ , 2:) à l'extérieur de la fig. 9 c (corre- 

 spondant à z>0); on voit que les tangentes confondues dans les di- 

 vers points extérieurs des deux plans doubles visibles dans cette sec- 

 tion particulière s'appellent ß^ , ß^ , soit ß^ , ßs selon que 



xy ^ . 



On a donc, sur les sedeiirs extérieurs des plans doubles 



â{l, 4) = (5(1 , 4) pour xy < 

 â{2, 3) = â{2, 3) » xy>0. 



Il n'est pas difficile de démontrer que les divers secteurs en question 

 font retrouver l'ensemble des 8 points complexes. 



15. Cela posé, il se peut qu'un point å particulier, avec lequel 

 on est parti de a; = , se confonde sur le premier plan double ren- 

 contré (en b , fig. 9 c), en prenant la valeur réelle â définie par la 

 section de ce plan avec l'axe des z . Si tel n'est pas le cas, on 



