104 Nils Zeilon, 



continuera de varier {x , y , ,z) en se tenant toujours à l'extérieur 

 des là , ce qui se fera en passant par des points tels que Q" (fig. 8). 

 Finalement on ai'rivera au plan // = , sur lequel lous les points de 

 ramification prennent deux à deux des valeurs communes réelles. Dans 

 ce cas, la valeur commune des deux branches associées à ô est 

 toujours complexe et sa partie imaginaire a retenu le signe initial au 

 voisinage de .■r = . Il s'ensuit que, en variant arbitrairement les [x, y, z) 

 dans cet angle extérieur de l'espace extérieur^ un point de ramification reste 

 en général complexe et ne devient réel que par accidence sur le plan y = 

 et sur un plan double. Sa valeur réelle se trouve alors dans un intervalle 

 à 4 branches ß complexes ou à 4 branches réelles selon le cas, et les deux 

 branches ß se permutant autour du point dans une position arbitraire, se 

 définissent par prolongement analytique de deux brandies à parties imagi- 

 naires de même signe à partir d'un intervalle de l'une ou de Vaidre catégorie. 



Cet énoncé nous ramène par une autre voie aux propriétés des 

 points complexes retrouvées en franchissant les J^ . Ainsi on pourra 

 d'abord fixer les branches dans les intervalles complexes pour y = . 

 11 arrivera alors que les valeurs réelles confondues de ô se trouveront 

 dans des intervalles différentes à 4 branches complexes. Or, en vertu 

 des considérations ci-dessus, des lacets issus de deux intervalles de la 

 même catégorie sont de même type; on pourra donc choisir un point 

 de départ commun à tous les lacets dans le domaine complexe^ tel que ces 

 lacets permutent tous, ou /ij avec ß^ , ou ß^ avec ß^ . 



En variant ensuite (,x , y , z) à partir de ?/ = , les points de 

 ramification restés réels se déplaceront le long de l'axe des (T ; il se 

 pourra donc qu'un tel point dépasse la valeur b initiale. Pour ne pas 

 faire changer de caractère aux lacets, il suffit évidemment de faire varier 

 b en même temps, de manière à rester toujours dans un intervalle de 

 même caractère. 



On a maintenant une idée assez précise de ce qui arrive quand 

 Q franchit une branche de I^ . Une paire de points conjugués s'ap- 

 prochera d'une valeur â réelle, incluse dans %m intervalle où antérieure- 

 ment deux branches ß sont réelles. On aui-a ainsi les deux cas typiques 



C'g. 



