Equations aux deeivees partielles a quatre dimensions etc. 1 07 



les cavités, tandis que le domaine intérieur est limité par le front 

 (Tonde postérieur, c, à. d. par la surface fermée de la nappe intérieure. 

 Le domaine intermédiaire se divise encore en cinq parties séparées, 

 savoir en quatre cavités T^ aboutissant dans les quatre points doubles 

 respectifs et recouvertes chacune par l'un des disques circulaires, et en 

 un domaine Ti à connexion multiple, intermédiaire entre les deux nappes 

 de /'. Nous allons voir que les fonctions F) prennent des valeurs très 

 simples dans les domaines -2" et Y. 



17. {Domaine ^.) La discussion du § précédent nous mène au 

 théorème suivant, important au point de vue physique: 



Les fondions f<t>du , fVdxi , fXdxi sont identiquement nulles dans 

 l'espace extérieur. 



En effet, soit p. ex. la fig. (<?) du n" 7, et partons de h avec 

 les deux branches (2, 3). Des points de ramification à partie imaginaire 

 positive menons des coupures vers l'infini; en allant de h directement 

 vers les points complexes on sait que ces points complexes permutent 

 ^2 avec /?3 de manière que la somme F), symétrique par rapport à 

 ces deux racines, prendra la même valeur aux deux bords des cou- 

 pures respectives. On n'aura donc à tenir compte que des lacets joig- 

 nant les quatre points /, II, III, IV k co . 



4^// 



- / 



IV 



Le chemin d'intégration déformé mène immédiatement aux deux lacets 

 allant de I et de 2J, à — oo , et à la période relative aux deux points 

 m et IV . Or, ces trois chemins, pour f = , peuvent être ramenés 

 à coïncider avec l'axe réel des fT . Notons que, tous les points de 

 ramification étant négatifs dans ce cas, il n'y a aucune collision avec 

 le point singulier â = — t,u . Cela posé, la fig. 9 h montre de suite que 

 par les chemins ainsi obtenus on intègre partout les branches en 

 question dans des intervalles où elles sont complexes. Il s'ensuit 

 qu'une racine particulière s'est permutée avec sa conjuguée sur l'autre 

 bord du chemin et qu'on intègre partout une différence de racines 

 imaginaire pure, conformément à l'observation du n" 12, chapitre IV. 



