Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. Ill 



après. On a maintenant 4 branches réelles entre VI et MI ou entre II et 

 IV et on peut choisir b dans l'un quelconque des intervalles. Onretrouve 

 comme contribution réelle la période autour de ô\jj et âj^ . Fran- 

 chissons maintenant /2,^ ; âyj et âyjj deviennent complexes et âyjj p, ex. se 

 posera, avec la notation (2, 3) dans le demi-plan supérieur. On aura ainsi 

 toujours la même période. Enfin on pénétrera igrf ^'i faisant coïncider 

 â^i avec âjy . On aura dans le demi-plan positif un nouveau point de 

 branchement ô'jy , obtenu par déplacement continu d'un point antérieur, 

 dont le fonctionnement est toujours représenté par le symbole (2 , 4), 

 à partir des points b ci-dessus. 



f 



-i r 



VIII 

 (fi.) 



Il W 



(24; 



On retrouve donc encore la période relative aux deux points complexes 



^m, ^ir- 

 on note d'ailleurs que par déformation du chemin d'intégration 



cette période s'exprime, à part du résidu pour ()' = , au moyen de la 



période relative aux deux points I et VIII. On arrivera donc à la 



nappe intérieure de r avec la période relative aux points qui s'y 



confondent, et on retrouvera inmédiatement la singularité algébrique 



qu'exige la théorie générale. 



21. En particulier, on revient pour les points de jT à certaines 

 intégrales hyperelliptiques. Soit p. ex. un point du domaine convexe 

 du front d'onde antérieur; on y a obtenu deux (demi-)périodes, 

 dont l'une est relative aux deux points de ramification confondus, et 

 l'autre se reporte à deux points restés distincts. La première est liée 

 à la singularité au passage de /'; c'est une fonction algébrique en 

 X , y , z . La seconde intégrale, continue au point considérée, doit de 

 même être algébrique, la somme des deux périodes étant nulle à 

 l'extérieur du front d'onde. 



