Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 1 15 



à r et représente la section réelle de la surface f menée par un point 

 (« , /3, d) intérieur à la nappe intérieure de f. On peut supposer que 

 la courbe f^"^ de 4'""" ordre consiste en deux traits fermés distincts, 

 l'un à l'intérieur de l'autre; si tel n'est pas le cas on peut toujours 

 atteindre le but par une projection différente, soit en considérant /'*''' 

 ou /*''', soit en faisant une transformation linéaire convenable. Pour 

 plus de généralité, considérons dans l'espace à 4 dimensions la section 

 de r par le plan 



ax-{- ßy -\- yz-}- à^u = 



dans l'espace des « , yS , ;' ; on aura un cône, p. ex. dans l'espace des 

 ß, y, (T , dont la section par le plan y = i nous donne la courbe /"'"'. 

 Supposons résolu le problème géométrique suivant: déterminer un 

 point E extérieur aux deux branches fermées de /'"", tel que les quatre 

 tangentes menées à /'"' par E touchent en quatre points en ligne droite. 

 Par le point E ainsi déterminé menons la droite OE par le sommet 

 du cône f-'^iß, y, ()') , et coupons le cône par un plan arbitraire 

 parallèle à OE, soit par le plan 



y' = ß cos <p + y sin (p = i . 



Dans la nouvelle section, E est rejeté vers l'infini, et par une trans- 

 formation linéaire préalable entre ß et ;' on a fait en sorte qu'au point 

 (a;, ?/ , z) correspond par réciprocité une courbe /*"', constituée toujours 

 par deux traits fermés, telle que par les 4 points réels dans lesquels 

 elle est coupée par une certaine droite, passent 4 tangentes qui sont 

 toutes parallèles. 



La transformation linéaire, soit 



ß' = — ß sin (fi -\- y cos (p 



y' = ß cos (fi -\- y sin (fi 



variera en général avec x , y , z mais sera toujours possible, pour un 

 point arbitraire de la catégorie en question. Avec 



x' = ~ X sin (fi + z cos (p 



= X cos (p -\- z sm (fi 



