Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 121 



23. On reconnaît encore le théorème ci-dessus en partant direc- 

 tement de rintéffrale double 



+ CO +00 



dßda 



^n^x /'«'{/ö, â) -Vie ff 



— CO —CO 



transformée aux coordonnées obliquangles 



•f CD -f 00 



ij rr dß'da' 



8n^x \ r\ß' , c)^') + ù/-] 



•(«) 



— CO —CO 



Dans le cas le plus simple /f sera de même signe le long de l'un 

 des traits fermés de /'"'. Sur la courbe extérieui-e on aura, pour £;> 0, 



par une discussion d'un type connu, ;f > , ^0-2 •> "äT2~ > 0- On 



en tire qu'en coupant par la droite mobile, les racines 6' négatives 

 seront projetées d'un côté et les racines positives de Tautre côté de 

 l'axe réel des ô'. Or, la substitution 



fait décrire par l le chemin de +00 à — ce pour d' > 0, et le chemin 

 de — GO à + GO pour d' < . Il vient donc 



ô-'d$' r à'dô' 



ri-jr , ^') + "/4 J r'(i7 , â') + uf. 



Dans cette intégrale on pourra faire f = dans tout intervalle 

 exempt de ceux contenant les quatre racines, toutes réelles, d'i , ô\, 

 d'à , ô'i . On aura donc des contributions partout imaginaires, sauf aux 

 demi-résidus correspondant au passage immédiatement au-dessus ou au- 

 dessous des pôles. Chacun des deux ternies passe de cette manière par 

 deux zéros, situés par rapport à la première intégrale de l'un et par 

 rapport à la seconde intégrale, de l'autre côté de l'axe réel. Les deux 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. "V» 1921. 16 



