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intégrales étant de signes contraires, on aura 4 tleini-résidus de môme 

 signe, à somme nulle. 



L'essentiel dans ce raisonnement est la réduction possible à 

 une courbe entre ^' et i, telle que les quatre racines restent réelles 

 et distinctes dans tout le domaine réel des l. Cette possibilité est 

 évidemment liée au fait que le front d'onde antérieur présente vers 

 l'extérieur une face partout convexe. On observe d'ailleurs que la 

 démonstration n'est pas affectée par la présence de points d'inflexion 

 de la courbe /'"' ; la restriction à des points [x , y , z) extérieurs aux 

 branches /^ n'est donc pas essentielle. 



§4. 

 Propriétés de la solution. Résumé. 



24. La preuve que nos fonctions représentent la solution fonda- 

 mentale du problème de Lamé est fournie par la méthode du § 6, 

 chapitre IV. La supposition essentielle était alors que le cône /„ fût 

 imaginaire, le sommet seul excepté. Dans le cas présent il y a cette 

 modification que les droites menées de l'origine aux points coniques, 

 c. à. d. les axes optiques de jT, sont à regarder comme des droites 

 doubles isolées du cône; en effet, en correspondance à la nature singu- 

 lière du plan ?/ = , on y a des points de ramification confondus. Il 

 n'y a là cependant aucune singularité pour nos intégrales, puisque les 

 valeurs ß qui s'y confondent sont complexes et que par conséquent 

 les discontinuités possibles ne peuvent pas apparaître par l'intégration 

 dans le domaine réel. 



Il a résulté des §§ précédents que les dérivées de deuxième 

 ordre de la solution fondamentale de 



fi ?i 



ou ' on 



sont partout nulles pour ?; = , et qu'il faut les prendre toutes avec 

 le signe contraire pour u <0 . Ce dernier fait est d'ailleurs évident 

 par cette raison que nos fonctions sont provenues de l'intégration par 

 rapp^'t à M de fonctions qui, par raison de symétrie, sont nécessaire- 



