(2) 



58 



Genom hopmultiplikation af dessa identiteter och resul- 

 tatets division med aa' erhålles 



(1) {ax^ -^2Bxy-\-a' Cy") {a'x' 2 -f 2B x'y' + aCy"^) 



= aa' X' -f 25ZF+ CF^, 

 däri 



{B^ — aa' C = D, 



X = xx' — Oyy\ 



Y= axy' -{- a'x'y-\-2Byy' = {ax-\-By)y' 

 J^{a'x' + By')y. 



Likheterna (1) och (2) definiera nu produkten af två 

 kvadratiska former eller den af dem komponerade (samman- 

 satta) formen, likvisst endast under en speciell form för 

 faktorerna eller komponenterna ^). EnHgt det förkortade be- 

 teckningssättet för kvadratiska former betecknas ofvanstå- 

 ende resultat sålunda 



(3) (a, B, a'C){x, y) ■ {a', B, aC)(x', y') = {aa\ B, Cf{X, Y) 

 eller helt enkelt 



(4) {a, B, a'C) (a', B, aC) = {aa', B, C). 



Formen (a, B, a' C) kan betraktas som parallellf orm till 

 formen (a, b, c), där b'^ — ac=:B'^ — aa'C=D, d. v. s. 

 dessa former hafva gemensam första koefficient {a) och äro 

 med hvarandra ekvivalenta ^). Betecknas med e talet -\- 1 

 eller — 1, således 6^ = 1, transformeras formen {a, b, c) 



= a ^^ -{- 2b ^'^ -\- crf' genom den linjära substitutionen j ' j 



^) Uuder denna form är produkten jämväl entydig eller har endast en 

 form. Ty den andra teckenkombinationen för I^jD i den första och andra 

 identiteten, hvarifrån vi utgått, skulle gifva {ax-\-{B±_ ^ D)y){a'x' -\- 

 (■B+ ^ D) y) = aa' {xx' -\- Cyy) -\-B{axy' -\- a'x'y) ^^ D {axy' — a'x'y), 

 i hvilken identitet högra membrum är hvarken af den ena eller den 

 andra faktorns i vänstra membrumform. Högra membrum innehåller 

 näml. tre särskilda funktioner a,i x,y,x',y', näml. xx'-\-Cyy', axy' -\- 

 a'x'y, axy' — a'x'y, hvilka således icke kunna förena sig till bildandet 

 af en trinomisk kvadratisk form. 



^) Med två ekvivalenta former af samma diskriminant förstås som 

 bekant så beskaffade former, att hvarje tal, som framställes af den 

 ena formen, framställes äfven af den andra och tvärtom. . 



