63 



B' hör till en annan talklass än B, ty B' kan påtag- 

 ligen icke i allmänhet vara kongruent med B enl. mod. aa\ 

 hvaraf följer att formen {a, B', a'C) är inekvivalent med for- 

 men (a, B, a'C). Men som s åter kan vara såväl = + 1 

 som = — 1 , hvilket senare värde ger åt B' motsatt tecken, 

 erhållas två former {a, B', a' C), {a, — B', a'C'), hvilka äro 

 oegentligen ekvivalenta. Detta resultat framställes åtföljande 

 formler : 



Jrl^ = — ha-{- h'a' + h" {b — b% 

 B' = hab' + h'a'b -f h" {D — bb') (mod. aa% 

 (1 1) I (a, b,c)i£i + {a, B', a' C) £i + (a, - B\ a' C), 

 ' (a', b', cO ^ + {a', B', aC) ^ qr {a', - B', aO), 

 {a, b, c) {a', b', c') = {aa', B', C") ^ _ {aa', — B', C% 

 där de dubbla tecknen i ordning kombineras med hvarandra. 



Lejeune Dirichlei anför {a. a) endast formlerna (9), 

 men icke formlerna (11), emedan dessa senare icke äro 

 absolut nödvändiga för den teori (användning af formers 

 komposition för demonstrerande af vissa egenskaper hos 

 klasser och grupper af former), som han för tillfället be- 

 handlar. Däremot är kännedomen af bägge formerna nöd- 

 vändig, när man t. ex. vill lösa en diofantisk likhet af an- 

 dra graden genom att upplösa den kvadr. form, som före- 

 kommer i likheten, i en produkt af två former. 



Nu äro vi i stånd till att komma till de båda enkla 

 formerna för två kvadratiska formers produkt, som Legen- 

 dre uppstält, och hvilket utgör det egentliga målet för före- 

 varande not. Vi anmärka först att Legendre förutsätter att 

 a och a' äro relativa primtal. Skulle de icke vara det, 

 kunna formerna {a, b, c,) och {a\ b', c') transformeras till 

 två andra med dem resp. ekvivalenta former (a„ b^, Cj) och 

 (a/, &,', c/), däri a^ och a/ äro rel. primtal. Man kan där- 

 för antaga att a och a' alltid uppfylla det antydda vilkoret. 

 Men vi kunna då i alla våra formler sätta h" = O samt låta 

 i ett och samma system af formler distinktionen emellan 

 egentlig och oegentlig ekvivalens för tillfället falla, hvarför 

 vi kunna i stället för (8) och (9) skrifva helt enkelt 



