67 



des däremot allmän linjär transformation, d. v. s. formen 



ax^ -f- 2 hcy -|- cip- substitueras x-=^'^x' ■\- riy\ y = '^'x' -\- rfy', 

 öfvergår den till 



{ae + 2nrj + cn'') x'^ + 2 {a§'^' + h (?,/ + r»?) 

 + crjrf) x'y' + (ag'^ + m'n' + ^'V') y'\ 

 däri, såsom kekant, 



(ai-'2 4. 2&i-^;^' + c//^) = (&2 _ ac) (i>/ - r^)'. 

 Sättes därför 



(22) |y^^Y_g',,^ 



hafva vi 



(ar' + 2&^iy + c»y2) (a^'2 _^ 2&r^/ + crP) = X^ — DY^ 

 eller 



(23) {a, h, c) {a', b', c') = X^ ~ DT\ 



Denna form utgör nu den andra formen för produkten 

 (a, b, c) {a', b', c') och skiljer sig väsentligen från formen (19). 

 Formen i högra membrum af (23) kallas som bekant prin- 

 cipalform för diskriminanten D. Är '§' = '§\ r/ = //, blifva 

 X = a$2 _|_ 2 b'^fj -\- crl^ = (a, b, c), Y = o samt formeln (23) 

 öfvergår till {a,b, cy = X^={a'§ -\-2b'§i] -\- cy'^)'^, d. v. s. 

 för {a, b, c)2 erhålles härigenom ingen ny form, hvaraf föl- 

 jer, såsom redan antyddes, att {a, b, cy har en enda form 

 näml. den som bestämmes af formlerna (19) och hvars koor- 

 dinater angifvas af (21). Ofvanstående resultat öfverens- 

 stämmer med de å sid. 6, noten, i anf. uppsatsen: En me- 

 tod för upplösande af tal i faktorer, gifna formlerna. 



Härmed hafva vi fullständigt löst den fråga, som vi 

 föresatt oss, näml. att ur de gaussiska eller lejeune-dirich- 

 letska formlerna för kvadratiska formers sammansättning 

 härleda de formler för dessa formers multiplikation, hvilka 

 Legendre och delvis äfven Lagrange först på ett så enkelt 

 sätt deducerat ur en annan och direktare princip, än den 

 som här tjänat till utgångspunkt. 



