Om likheten x'+ y'= 2™ z\ 



Af 

 S. Levänen. 



Man har bevisat att liheten x^ + ^/^ + z'^ + O är omöj- 

 lig att lösa med hela tal (med undantag af O och + 1). ^) 

 För ett visst ändamål, hyarför längre fram redogöres, före- 

 satte vi oss att undersöka när likheten x^ -\- if = 2'" z'% däri 

 ■m > 1, är omöjlig att lösa med hela tal och funno att detta 

 är fallet för oändligt många positiva helttalsvärden på m, 

 hvilka bilda en egendomlig progression. Däremot hafva vi, 

 oaktadt all ansträngning, icke lyckats bevisa att nämnda hk- 

 het är omöjlig för alla helttalsvärden på m. 



Det är klart att i ofvanslående likhet ic, y och z kunna 

 förutsättas vara relativa primtal, enär, om h vore en ge- 

 mensam faktor, likheten skulle genom förkortning Irån for- 

 men /iV^ -\- li^y''^ ■■= 2'" li^z''" öfvergå till x''^ -{- ij''^ = 2'" z''% 

 hvilken är af samma form som den gifna likheten. Vidare 

 inses att x, y och z kunna förutsättas vara samtligen udda 

 tal, ty skulle det ena af x eller y vara jämt, måste äfven 

 det andra, på prund däraf att högre mambrum är jämt tal, 

 vara jämt tal. Vore åter z jämt tal, skulle den jämna 

 faktorn däri kunna förenas med 2'" till ett tal. Angående 

 m, kunna vi antaga att detsamma icke innehåller 5 som 

 faktor, ty 25'» ^^ kan skrifvas (2'« zf:=z"' och likheten blefve 

 ic^ -|- 2/5 = z''% hvars omöjlighet, såsom sagdt, blifvit ådagalagd. 



Under dessa förutsättningar bör i likheten 

 (1) x^-\-y^^ 2'» z"" 



') Legendre, Théor. des nombr., II, § IV. 



