70 



z vara delbart med 5 för alla värden på w, som höra till 

 progressionen 



<w 1 



(2) 2, 4, 7, 9, 12,....2rz + ^^-'). • 



Däremot är detta icke nödvändigt för de värden på w, hvilka 

 höra till progressionen 



(3) 1, 3, 6, 8, 11, 13,-..2n-l 4-^-2-^). 



H varje helt tal är näml. i afseende på 5 som modul af nå- 

 gon af formerna öw-f-O^i lii^ samt 5:te potensen af ett 

 sådant tal af någon af formerna 25 iV-j- O, + 1 + 7. Följ- 

 aktligen är T' -\- y'" af någon af formerna 25 iV + O, + 2, + 

 6 + 85 + 14. 2™^^ måste således också ha någon af dessa 

 former. Nu är det lätt att öfvertyga sig därom, attz™^^, 

 däri m är ett af talen i progr. (2), icke blir af någon af de 

 senast anförda formerna, med mindre att z är divisibelt med 

 5 eller är formen 5n. Så t. ex. är 2--75 = 4 (5- 1 + 2)'' = 

 4 (25 iV -[- 7) = 25 iV' 4- 3 och således icke af någon bland 

 de i fråga varande formerna. Lika lätt öfvertygar man sig 

 därom, att, om m hör till progressionen (3), kan 2"^^'^ nog 

 antaga någon af dessa former, utan att z är divisibelt med 

 5. Så äro t. ex. 2 • V = 2b N' + 14, 2'' ■ 7^ = 25 N' -f 6, 

 eller af de äskade formerna. 



Undersökningen angående möjligheten eller omöjlighe- 

 ten af likheten (1) spjälker sig derför i två delar: z är del- 

 hart med 5 och z är icke delhart med 5. 



n — 1 



^) E betecknar det största hela tal, som innehålles i — 2~' 



Summan af de n första termerna i denna progression är = w (w -j- 1) 



n n — 1 m (5 n 4- 2) n — 1 n 



-{- -^ E —^ = T för n jämt och = w (w -f- 1) + ""2~ ^~)^^ 



n (5w + 2)+l 



— T för n udda tal. 



*) Summan af de n första termerna i denna progression är 



n n — 1 n{on — 2) n—1 n 



= n* -\-- -1^ E ^— = — T för n jämt och = n"- -|- —^ IL — = 



n(5n-2) + l 



;; tor n udda tal. 



