71 



För att utföra denna undersökning vilja vi för de lä- 

 sares räkning, som icke äro inne i de kvadratiska former- 

 nas teori, förutskicka några hjälpsatser, på hvilka de afsedda 

 demonstrationerna skola stöda sig. 



] . Likheterna w? — ;^ n'^ = + 1 och m~ — bn^ = — 1 

 hafva oändligt många lösningar. Utvecklas näml. V b i ked- 

 jebråk, er hålles 



^ ~ - + 4+T~VT' 4' 17 ' 72 ' 3U5' 1292' "'n'"' )' 

 4+T__ 

 4- ■• 

 Dessa konvergenter hafva den egenskapen att wP- — 5 n^ = 

 + 1, alteftersom konvergentens ordningsnummer är jämn 

 eller udda. Likheten m^ — 5 n^ = -f- 1 satisfieras således af 

 m = 9, 161, 2889- • -11) 

 n = 4, 72, 1292- •■/ 



samt likheten m- — 5 n^ = — 1 af 



m = 2, 38, 682- --^ 

 w= 1, 17, 305- • •/' 

 Ur m = 2 och n = 1 kunna alla de öfriga värden på m och 

 n erhållas äfven ur likheten m-\-n Vö = (2 -f- 1 • V^y ^ ty 

 man har (2 4 *'' 5> = 9 + 4 l^ 5, (2 -f i'' 5)' = 38 + 17 ^"5, 

 (2 -f Vbf = 161 -{- 72 V b, o. s. v. Vidare är (9 -i- 4 V by 

 = 161+72 I '5, (9 + 4 V dy = 2889 + 1292 Kö, o. s. v., 

 hvaraf ses att man genom potentiering af expressionen 

 2+ Kö eller allmänna 2 + Kö erhåller samtliga lösnin- 

 garna till likheterna m^ - ö ^^ = + 1 samt enbart genom 

 potentiering af 9 +4 Kö till likheten m'^ — bn'^ = -\-l. 

 Således äro 2 och 1 de minsta rötterna till likheten m^ — 

 ö n^ := — 1 samt 9 och 4 de minsta rötterna till m^ — bn^ = 

 + 1. Man kan äfven återgifva samthga rötterna till likhe- 

 ten m"^ — ö n^ = — 1 medels formlerna 



(2+K5f'+' + {2-Vbf'+' 



m 



2 



*) Dessa tal, liksom ock de följande värdena på m och n, bilda 

 rekurrenta serier med relationsskala (18, — 1). 



