72 



2 Vb 2 1^5 



2. Om likheten .r^ — 5 ^^ -_ j^ jjaj. ^^ lösning, har 

 den oändligt många lösningar, hvilka kunna härledas ur 

 denna ena. Ty, om x^ — btf = Ä = F^ — ö G^ och såle- 

 des x=F och y=G, har man likaledes x"- — by'^ = 

 (F^ — 6G^){m^ — n^)^', om m^ — 5 7^^=1 och således 

 ix-\-tjVb) (x — yVb) = (F-^GVb) (F-G^K5) + 

 {m-\-n Vöy (m — n Vöy, hvaraf, då i stället for m och n 

 tagas 9 och + 4, erhålles 



x-\-yVb={F-^G 1^5) (9 ± 4 l^5)^ 

 x-yVb = {F—GV5) (9 + 4 Vby, 

 hvilka formler gifva oändhgt många värden på x och y 

 emedan k är ett godtyckligt taP), Sätta vi (9 + 4 yby = 

 m-{- n y b och således (9 + 4 V by = m — n V b^ fås ur 

 föregående likheter följande uttryck för x och y 



(x=:^mF-\-bnG, 

 ^^^ \y = mG-\-nF.^) 



I dessa formler äro m och n oändligt mångtydiga tal, men 

 det är för följande undersökning lämpligare att öfverföra 

 denna oändhga mångtydighet på talen F och G. För detta 



') Att k kan hafva äfven negativa värden, inses däraf att 



(9 + 4 K5)^*= ——- = (9 + 4 1^5)'^ 



-^ (9 + 4^5)* ^ ^ 



^) Enklast erhållas dessa likheter genom hopmultiplicering af 



likheterna F'^ — 5G^ = 1, m- — 5 n^ = 1. Produkten blir näml. (mF^-{- 



bnGY — b{nF -\-m Oy =1, hvaraf ses att likh. as'^ — 5i/* satisfieras 



B.i x = mF-\-hn G, y = nF-\-m G. Dessa uttryck äro jämväl rekur- 



renta med rel. skala (18, — 1). 



