74 



(e) f + g' Vb ={f^g Vb) (9 + 4 Vb)\ ') 



hvarefter likheten F' 4- O' Vb = {f-\-g' J^öJ^ ger 



jF^ = f (f ^ + 50 ry^ + 1 25 g'% 

 ^^ \0' = bg' [f^ 4- 10 /'Y^ 4-5/*). 



Den allmänna lösningen till likheten 



(g) x'^ — by'^ = r^ = {f - b g'^y 



innehålles således såväl i formlerna (a) och (d), då m och 

 n bestämmas ur likheten m -\-n V b = (9 + 4 l'^ bf, där k 

 betecknar ett godtyckligt tal, ^) som och uti formlerna (b), 

 (c), (d) eller (b), (e), (f). Anmärkas kan, att de tre senare 

 formlerna framgå ur de två förra, om i dessa i stället för 

 m och n insattes successivt m = 1, n ^ O, m = 9, n = 4: 4, 

 m = 161, n = + 72 samt F, O, /, g ersättas af F', O', f\ g'. 



4. Om formen x^ — 5 y'^ framställer ett tal Ä, så fram- 

 ställes detta tal jämväl af formen bx'^ — y'"^, ty den förra formen 

 öfvergår till den senare genom substitutionen x = bx' — 2y\ 

 y = — 2x'-\-y' ojh tvärtom den senare formen till den 

 förra medels den omvända substitutionen x' = x-\-'2y, 

 y' = 2 X -{-by. 



Efter dessa förberedelser skola vi bevisa att likheten 



(4) a;5 4-^5=z2'"^^ 



är omöjhg under de i inledningen gjorda förutsättningarna, 

 att X, y, z äro udda och relativa prima tal samt att 

 z är delbart med 5, hviket senare vilkor är nödvändigt om 

 likheten antages vara lösbar, då m hör till progr. (2). Be- 

 viset är indirekt och följer samma tankegång, som Legen- 

 dre användt vid bevisandet af omöjhgheten af likheten 

 x'^ -|- ^5 _j_ ^5 __ Q (ofvan anf. arb.). 



^) Således är äfven f'^ — 5g'^=f- — 5 g\ 



■') Med tal i denna uppsats menas alltid hela tal. 



