75 



Om z är delbart med 5, kan det sättas = 5 tr, då r 

 och 5 t äro relativa primatal. Hvarken x eller y kan då 

 vara delbart med 5. Nu är 



x^ + y'' = [^ -\- y) {x^ — x^y -\- ^^y"^ — xy^ -\~y'^)^= 



De båda faktorerna i denna produkt kunna icke halva till 

 gemensam faktor något annat tal än 5 (och älven endast 



första potensen af detta tal), enär ' — -^~ icke kan inne- 

 hålla 5 som faktor, ty i motsatt fall skulle äfven 2 xy och 

 slutligen såväl x som y ha. b till faktor. Häraf följer att 

 likheten (4) nödvändigt sönderfaller i de två likheterna 



x-{-y = 2"' 5* t% 



^ fx^ -\- y^y _ / x^ -]-2xy-\- y^ y^ . 



då z = btr. Insattes i den senare likheten 2^"'b^t^° i stäl- 

 let för x^ -\-2 xy -\- y^ samt divideras med 5, erhålles likheten 



(h) [^!-±-^ J_ 5 (2—15^ t^^y =:r^ = {f —b g^y. 



Denna likhet är af formen (g). Dess lösningar innehållas 

 följaktligen i formlerna 



^-i-^ = F\ 9F'±20 G\ 161 i^' + 360 (?', 



2m-i 57 ^10 ^ ^/^ 9 O' ±4 F', 161 G^' + 72 F\ 



där F' och G' hafva de genom formterna (e) och (f) be- 

 stämda värdena. I den senare likheten (rättare likheterna), 

 måste högre membrum (membra) vara delbart med 5. Eme- 

 dan G' enl. (f) är delbart med 5, kan icke F' vara delbart 

 med 5, ty i motsatt fall skulle äfven x^-\-y^, xy och slut- 

 hgen äfven x och y vara delbara med 5. Häraf följer 



