76 



att af de fem olika formerna för i fråga varande lik- 

 het endast den första formen är antaglig. Altså är 



2'"-i 5^ ^10 =zO' = b c/ (f * 4- 10 f V2 4- 5 g'^) 



samt 2»'-i 50 ^10 = g' (/'* + 1 f V ^ + 5 g'^) 



= g'{{P + bg'^f-b{2g"'f). 



I denna likhet äro faktorerna i högra membrum rel. prim- 

 tal, emedan f och g' äro sådana. Den andra faktorn kan 

 icke vara delbar med 5. Vidare måste g' vara jämt tal, 

 ty vore g' udda och således /' jämt tal (bägge kunna icke 

 vara udda eller jämna, emedan (f^—Dg''^y = (/^ — ^g^y = r^ 

 och r således vore emot antagandet jämt), blefve högra mem- 

 brum udda, medan vänstra membrum är jämt tal. Sätta vi 

 därför t = ur\ då u och r' äro rel. primtal, måste likheten 

 i fråga sönderfalla i dessa två t 



g' = 2"'-i 56 u^^^ ■ 



(/'2 _|_ 5 ^/2)2 „ 5 (2 g'2) = /lo^ 



där t= ur'. 



Insattes i den senare likheten 2^"*~^b^'^u^^{öv 2 g'"^, erhålles 



iP + 5 9'^f — 5 (2^'"-^ 512 1*20)2 ^ (^^,ny ^ ^fz _ 5 ^//2)5. 



Men denna likhet är af samma form som Kkheten (h), hvar- 

 ur på anlogt sätt härledes 



22«i— 1 ^12 /20 /-y// - // , ////4 I ,,\ ^//2 //2 I - //4^ 



O lif = U-" T=zO g" {J'" Jf^ 10 f" g ' -\- o g ) 



samt härur 



g" = 2'"'-~'b" u''\ 



där u'r" =u. På detta sätt kunde man fortsätta till oänd- 

 lighet och sålunda få efterhand z = b t = b ur' = 5 u'r'r" = 

 5 u"r'r"r"' ' • • Nu kan intet af talen it, tt', u" • • • utfalla < 1. 

 Då hvart och ett af talen /, r", r'", • • • bestämmes ur en 

 likhet af formen r^»'» = /* -j- lO/''^^ _|_ 5^^ (järi f och 5^ 

 oafbrutet växa, blir hvart och ett af dem > 1 och således, eme- 



