77 



dan de äro hela tal, > 2. Häraf följer att produkten 

 bu"r'r"r"' ■ ■ • växer utöfver hvarje ändligt tal, hvilket för- 

 utsätter att z vore oändligt stort tal. Men detta strider 

 emot det naturliga antagande att rr, y, z, i likheten (4) äro 

 ändliga tal, hvaraf således följer att likheten 



x^ -f- if = 2"' z'' 

 är omöjlig under det antagande att z vore delbart med 

 5 eller att m vore en term i progressionen 2. 4, 7, 12- • • 



2n-\- E—^. H. s. B. 



Det andra fallet, då z icke är delbart med 5 och hvil- 

 ket kan inträffa, när m är en term i progressionen (3), 

 har däremot, såsom antydts, vid begagnandet af ofvan an- 

 vända bevisningsmetod icke ledt till någon motsägelse. En 

 annan väg måste därför inslås, för att få frågan afgjord. 



Skulle svaret på denna fråga utfalla nekande, d. 



v. s. att i fråga varande likhet är omöjlig äfven i den 



händelsen att z icke är divisibelt med 5, skulle därmed en 



intressesant sats rörande triangeltalen (/\ -talen): 1, 3, 6, 



n (n I 1 

 10, 15, 21,--- — -^?^^ vara bevisad. Angående dessa tal 



känner man åtskilliga satser. Sådana äro: hvarje helt 

 tal är antingen ett /\-tal eller en summa af två eller 

 högst tre A-tal; ett /\-idi\ kan icke (med undantag af 1) 

 vara en kub (kubiktal) eller en bikvadrat. I A-talsserien 

 förekomma således icke potenser, hvilkas exponenter äro 

 delbara med 3 och 4, men väl kvadrater af icke-kvadrater 

 och icke-kuber, t. ex. 36 = 62, 1225 = 351 Man kan nu 

 ställa sig den frågan, om de nämda potenserna äro de enda, som 

 ej förekomma i A-talsserien. Att på allmänt sätt besvara 

 denna fråga, torde öfverstiga den nuvarande analysens kraf- 

 ter, ty vi skola se till hvilket problem frågan leder. 



Antag att ett A-tal vore en m:te potens, då m > 2 

 och icke delbart med 3 eller 4. Man borde då kunna 



<fi (fl I ] 

 lösa hkheten ^ J^ ' = ^"', hvilken, emedan n och n -f- 1 



äro relativa primtal, måste sönderfalla i de två likheterna 



