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des fonctions jouissant des mémes propriétés de continuité 

 que la fonetion cherchée et satisfaisant ä certaines équations 

 aux dérivées parlielles, nous passerous par Pintermédiaire 

 de fonctions qui sont elles mémes discontinues, et dont 

 les valeurs en certains points ä Tintérieur de 1'aire qu'on 

 considére, satisfont ä certains systémes d'équations algé- 

 briques linéaires. Il nous sera ainsi possible d'éviter com- 

 plétement le procédé d'extension progressive dont se sert 

 M. Picard, et notre probléme se trouvera résolu par un 

 procédé uniforme, qui conduit directement ä la solution dans 

 tous les oas. 



Avant d'arriver aux détails de notre méthode, il nous 

 faut d'abord établir deux lemmes préliminaires dont nous 

 aurons besoin. 



1. Soient S une aire pour laquelle on sait résoudre 

 le probléme de Dirichlet, .>^ le contour de S, et U une 

 fonetion des coordonnées r et y^ définie dans ^S' et sur 5'. 

 qui sera supposée en general finie et continue, mais qui 

 pourra prendre, sur les deux bords de certaines lignes de 

 longueur fmie, des valeurs différentes variant d'une maniére 

 continue le long de ces lignes. Soient encore M le maxi- 

 mum de |Z7|, Gs (*', //; x\ y') la fonetion de Green rela- 

 tive ä Paire S et au pöle a: , ?/ , et posons 



7=1 r/ VGsix, y- x\ y') dx'dy', 



ou U' = U {x\ y'). En désignant par A et B deux points 

 situés ä rintérieur de S et par Va et Ys les valeurs de V 

 en ces points, je dis qviapres avoir fixé un nombre positif 

 e aussi peMt que Von veut, on peut toujours trouver un 

 nombre 2)0 sitif 'ij, ne dépendani que de V aire 8 et du nomhrc 

 i, tel qu^on ait 



\VA-VB\<eM 



des que la distance entré les points A et B sera in- 

 térieure ä t] . 



