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dans S, qui ne devient jamais negative. Nous allons dé- 

 montrer que, Ms désignant le maximum du module de 

 V expression 



<3) ~ I { // U' Gs{x,y; x\ y') dx'dy' + U 



et M le maximum de \U\, on a toujours 



M 



<4) Ms>— . 



Soit, en effet, A un point de 8 ou \U\ prend la valeur 

 M, et adraettons que U est positif en ce point. Si la va- 

 leur du premier terme de Texpression (3) est, au point A^ 



M 

 supérieure ou égale ä — — , ou voit de suite que Pinégalité 



{4) est remplie. Il suffit donc de considérer le cas ou 



M 



ij .'■■" 



Gs{x, y; x', y') dx'dy' < 



au point A. 



Design ons par /S*! la plus grande aire comprenant le 

 point A dans son intérieur ou sur son contour et dans la- 

 quelle U reste positif, et admettons d'abord Texistence de 

 la fonction de Green Gs^ix, y\ x\ y') relative ä cette aire. 

 Comme la différence Gs — Gs^ est une fonction harmonique 

 €t réguliére dans 8^, il en sera de méme de la différence 



— / r /;,' U' Gs dxfdy' — — f / / U' Gs, dx'dy' 



et, par suite, de Texpressiou 



(5) v = ~ I f fjf LP GsdxUly' — — f p/ U' Gs, dx'dy\ 

 ^TtJ J s 2nJ J 's, 



