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Le second terme de cette expression est négatif ou nul au 



M 

 point A, tandis que le premier terme y est inférieur ä ; 



on aura donc en ce point 



M 



v <. . 



2 



Mais, une fonction harmonique ne peut avoir ni maximum 



ni minimum ä Pintérieur d'une aire: il en résalte que la 



fonction v atteindra sur le contour s^ de Taire 8^ des valeurs 



M 

 inférieures ä — — et, comme le second terme de (5) s'an- 



nule sur s^, on peut donc trouver sur ce contour un point 

 B ou Ton a 



^ { i fjt' U' Gs dx'dy' < ^ 



27t. I s 2 



Ceci établi, remarquons que, puisque 1'intégrale précédente 

 est nuUe sur s, on est assuré que le point B se trouve ä 

 rintérieur åe 8. Si la fonction U est continue en B, elle 

 y sera donc égale ä zéro, ä cause de la definition de s^, 

 et si le point B appartient ä une ligne de discontinuité 

 pour U, de sorte que cette fonction y ait deux valeurs 

 différentes, Tune de ces valeurs sera negative ou nuUe. On 

 voit donc que la valeur de Pexpression (3) au point B (ou 

 Fune de ses valeurs, si elle y est discontinue) sera inférieure 



M 



ä , de sorte que Finégalité (4) est bien vérifiée. 



Dans le cas ou Ton ne sait rien sur Texistence de la 

 fonction Gs^ la demonstration précédente doit étre modifiée. 

 Comme la fonction U est positive dans S^, on peut, apres 

 avoir fixé un nombre positif s aussi petit que Ton veut, 

 trouver une aire S[ rentermant Taire Si, telle qu'on soit 

 assuré de Pexistence de la fonction G si, relative ä cette 

 aire, et qu'on ait, dans son intérieur, 



^ / / </ U' Gs: d.v'dy' 



