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Si Ton reprend la demonstration précédente en raisonnant 

 sur Taire S[ au lieu de sur S^, on trouve 



3/ 

 Afs > - - f , 



et, puisque s est arbitraire, nous arrivons donc encore ä 

 rinégalité 



Ms > —. 



" 2 



Nous avions admis que la fonction U est positive au 

 point A. Si elle y était negative, un raisonnement entiére- 

 ment analogue ä eelui qui précéde conduirait encore ä 

 rinégalité ci-dessus. Notre demonstration est donc achevée. 



3. Nous sommes maintenant en mesure d'aborder le 

 probléme que nous avons en vue. Soient fDs une fonction 

 continue défmie sur 5, et / une fonction de a? et ?/ qui ne 

 devient jamais negative et qui est finie et continue ainsi que 

 ses dérivées partielles du premier ordre dans S, le contour 

 compris; il s'agit de trouver ime fonction u finie et co?}- 

 tinue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers 

 ordres dans S, et satisfaisant aux conditions 



/ill = fu dans S: 2( == Ws sur s. 



Soit v la fonction harmonique qui prend sur s les va- 

 leurs (Ds, et posons 



H ■ — • V = ir; 

 il vient 



jir = fiv -f- fv dans S] ir = o sur s. 



En posant, de plus, 



-^-\\f '' ^^ (■^' 2/; ^'', y') ^^^'<hj' = «• 



on trouve, ä cause des propriétés de la fonction de Green, 

 (6) if + ~ f / /' w' Gs [X, //; ,/.', ij') dy di/== o.. 



