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Nous allons d'abord étudier le cas ou la fonction /'n'est 

 identiquement nuUe dans aucune des aires Sn- Désignons 

 par A\, A\, • • • , ^7 1^^ sous-déterminants d'ordre m — I 

 correspondant respectivement aux elements a\ -|- 1, «' , • • • , a^, 

 de sorte que 



D = Al (al + 1) + yi; «; H f- A'>-, 



et supposons que, les points a\ , y^; or^.y^; ; x„,, y,„ 



restant fixes, le point x^^^y^ soit mobile dans 6',. Les quan- 

 iités Al, Al, ••■-, A"^ resteront invariables, a\ satisfera ä 

 Tégalité 



dxi dy] 

 dx] dy\ 



et Ton aura 



pour n = 2, 3, • • •, m. Il en résulte que le déterminant D 

 satisfait k Tégalité 



Or, par hypothése, la fonction /" n'est pas identiquement 

 nuUe dans S^ . Si A\ est différent de zéro, D ne peut 

 done pas étre nul pour tout point x^, y^ de S^, et Ton 

 peut, par suite, dans ce cas choisir .x\, ?/, de maniére que 

 D soit différent de zéro. 



Nous sommes ainsi conduits ä ^onsidérer le détermi- 

 nant A\ . Nous pouvons le mettre sous la forme 



ä\ = Al (a; -f 1) -{- a;' a^ + . . ■ 4- <<, 



ou A*, • • •, J.^ ne dépendent plus que de x^, y^\ x^, y^\ • • • 

 x„i, ym- De plus, le point x^, y^ restant dans S^, on a 



dx\ dyl 



