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 et 



— ~ H ^ = o , 



dxl dy\ 



pour '?i = 3, 4, • • •, yrt. Il vient donc 



d^A\ . d-A\ .2 , . . 



^r-^ H ' =— A., f (a\, y,), 



dxl ()yl 



et Ton voit que, si A\ est différent de zéro, on peut choisir 

 x^^ y^ de telle sorte qu'il en soit de méme de A\ ; par suite, 

 oa peut, dans ce cas, choisir x^^y^ et x^^ y^ de maniére que 

 D ne soit pas nul. 



En continuant toujours de la méme facon, on aura 

 ainsi a considérer successivement une suite de déterminants 

 J-j , Aj , • • • , J.^, et Ton peut affirmer que, si un de ces détermi- 

 nants A'^ est différent de zéro, il sera possible de choisir les 

 points Xj, y^\ x^,y.^; • • •; ä;„_i, yn-i de maniére qu'il en soit 

 de méme de D. Or, le dernier déterminant A^ n'est pas iden- 

 tiquement nul quand le point Xm, ym est mobile dans Sm, 

 car A,„ = a. + 1 et l'on a 



ox- dir 



Dans le cas que nous considérons il sera donc pos- 

 sible de choisir les points Xn,yn de telle sorte que D ne 

 soit pas nul. 



Supposons maintenant que la fonction /' s'annule iden- 

 tiquement dans une ou plusieurs des aires Sn, par exemple 

 dans S^, S^_, • ■ •, 8q^.i, ce que nous pouvons admettre sans 

 restreindre la généralité. Alors les quantités «.^, a^, • • •, al~^ 

 sont nuUes pour n = 1, 2, • • •, w, *de sorte que le déter- 

 minant D se réduit ä 



