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stante dans chacune des aires ä„, et, en posant iv = tVi, 

 Fégalité (6) sera vérifiée en chacun des points x^^ yl^ 

 (n = 1, • • •, mi). Nous supposons, bien entendu, les points 

 x^^, y^ donnés de telle sorte que Texistence des fonctions u'i 

 soit assurée, ce que nous pouvons bien faire d'aprés ce que 

 nous avons vu au numéro précédent. 



Je dis que, quand i augmente indéfmiment, les fonc- 

 tions lu^ tendent vers une limite qui satisfait en chaque 

 point de Vaire 8 a Véquation (6). 



Soient, en effet, iV et P les valeurs maxima respec- 

 tives de /" et de | ö>J ; en se rappelant la definition de la 

 fonction w (n» 3) et des quantités /y^., on trouve 



jft) [x + öx, y -{- dy) — O) {x, y)\ < NP^.^ 



pour dx et dy < ri^. Done, la variation de o) dans Fune 

 quelconque des aires 8\^ ne surpasse pas la valeur NPs.. 



Soit m. le maximum de | tv. j , et désignons par uf^ la 

 valeur de o> au point x'^,y^. On a, par definition, quelles 

 que soient les valeurs de i et de w, 



(1) ^J\r ^: G-s «. 2/1 ; ^'. y') '^^'^y' + ''^u «' 2/I) = <- 



Comme la variation de Fintégrale 



(8) ~-^U f wj G, {x, y- x\ y') dx'dy' 



dans une aire 8'^ est au plus égale ä N7n^ e.., on en conclut, 

 en observant que m"^. reste constante dans chacune de ces 

 aires, 



I ~ fl f w! G^ d;jc'dy' + w. < m + Nm. f ., 



\'^^J J s 



