et 



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on pourra évidemment, apres avoir fixé un nombre 6 aussi 

 petit que Ton veut, déterminer un nombre -Ji assez grand 

 pour qu'on ait dans S 



— I { f R; Ogdx'dy' <f, 



~{ { f P.; Cr, dafdy' 4- P, _ ^, I < ,, 

 pour i > n. Il vient donc dans ;S' 



et, par suite, puisque € est arbitraire, 



^j j fiv'a,dx'di/ + rv = o.. 



La fonetion iv satisfait donc bien dans *S' å Tégalité (6), 

 et nous n'avons plus qu'ä ajouter ä cette fonetion la fone- 

 tion v définie au n» 3, pour avoir la solution u du probléme 

 que nous nous étions proposé. Gomme d'ailleurs ce pro- 

 bléme ne comporte qu'une seule solution, resultat bien 

 connu sur lequel nous n'avons pas besoin d'insister, nous 

 arrivons ainsi au théoréme suivant: 



Etant données une aire S pour laquelle on sait résoudre 

 le proMéme de Dirichlet, une fonetion continue Os définie 

 sur le contour s de S, et une fonetion f des coordonnées 

 X et y, qui ne devient jamais negative et qui est finie et 

 continue ainsi que ses dérivées partielies du premier ordre 

 dans S et sur s; on peut toujours trouver une fonetion u, et 

 une seule, finie et continue ainsi que ses dérivées partiel- 

 les des deux premiers ordres, et satisfaisant aux conditions 



J ^1 = fu dans 8; u = (Dg sur s. 



