224 



Eucliclisk geometri och af ett bref från Gauss till Wolfgang 

 Bolyai, år 1799, framgår tydligt, att Gauss hade klart för 

 sig grunddragen af den geometri, till hvilken man kommer 

 om man förkastar Euclides axiom om parallela linier. Tyd- 

 ligast uttalar sig Gauss år 1818 om omöjligheten att bevisa 

 Euclides axiom i en anmälan af ett arbete öfver teorin för 

 parallellinier. Gauss säger: ,,Det torde finnas få ämnen 

 inom matematikens område öfver hvilka så mycket skrifvits 

 som öfver den lucka, som uppstått vid begrundandet af teo- 

 rin för parallela linier. Knappast något år förgår utan att 

 nya försök göras att utfylla denna lucka, och dock måste 

 vi, om vi vilja vara ärliga, säga att vi väsendtligen ej kom- 

 mit längre än Euclides för öfver 2000 år. Ett dylikt öppet 

 medgifvande synes oss vara vetenskapen värdigare, än ett 

 fåfängt bemödande att genom en värnad af skenbevis söka 

 dölja en lucka, som ej kan utfyllas". 



Då Gauss ej publicerat sina undersökningar öfver den 

 Icke-Euclidiska geometrin, så återgår jag till Lobatscheffsky. 



Såsom grundval för sin teori om parallela räta linier 

 ställer Lobatscheffsky följande sats: Alla räta linier i ett 

 plan, hvilka utgå ifrån en punkt, kunna med af seende å en 

 gifven rät Ii ide i samma plan indelas i två grupper. Till 

 ilen ena gruppen höra de räta linier, som skära den fasta 

 limen, till den andra de. som icke skära densamma . Gräns- 

 linien emellan linierna i den ena ock de i den andra grup- 

 pen säges vara parallel med den gifna räta linien. 



Då gränslinjen tillhör hvarken den ena eller den andra 

 gruppen af linier, så kan man om densamma lika litet påstå 

 att den skulle skära den gifna linien som att den icke skär 

 denna linie. Lobatscheffsky inför här ett begrepp, gränslinie 

 eller gränsvärde för en vinkel, som med så stor fördel blif- 

 vit användt i analysen af Prof. Weierstrass. 



Tänker man sig ifrån den fasta punkten en rät linie 

 dragen vinkelrät emot den gifna linien, så kallas den vinkel, 

 som parallellinien bildar med denna perpendickel, parallel- 

 vinkeln. I den Euclidiska geometrin är parallel vinkeln, obe- 

 roende af punktens afstånd från räta linien, lika med 90 



