225 



grader och det ges endast en linie, som ifrån den gifna 

 punkten kan dragas parallel med den gifna räta linien, eller 

 endast en linie, som ej skär den gifna. Antages deremot 

 parallelvinkeln vara mindre än 90 grader, så inses att 

 man har två parallellinier, hvilka ligga symmetriskt i an- 

 seende till perpendickeln från den gifna punkten till den gifna 

 linien. Alla linier, som utgå ifrån den gifna punkten och 

 ligga inom den ena af parallellinierna bildade vinkeln, skära 

 den gifna linien, de linier, som ligga inom den andra af 

 parallellinierna bildade vinkeln, skära icke den gifna linien. 



Parallelvinkelns storlek beror af den fasta punktens af- 

 stånd p ifrån den gifna räta linien, så att ju större detta 

 afstånd är, desto mindre är parallelvinkeln. Till hvarje gifven 

 vinkel « kan man finna ett afstånd p sådant att parallelvin- 

 keln som motsvarar detta afstånd är lika med a. 



Såsom kändt är, grundar sig beviset för att summan 

 af vinklarna i en rätlinig triangel är lika med två räta på 

 Euclides axiom. Alla försök att bevisa denna sats oberoende 

 af Euclides axiom hafva varit fruktlösa och endast ledt till 

 satsen, att summan af vinklarne ej kan vara större än två 

 räta. Man kan således antaga att samman af vinklarne i 

 en triangel är antingen lika med två räta, eller mindre än 

 två räta. Lobatscheffsky bevisar att om summan af vink- 

 larne i en triangel är lika med två räta, så är den i alla 

 trianglar lika med två räta. Antagandet att vinklarnes 

 summa är två räta leder åter derhän, att parallelvinkeln är 

 lika med 90 grader. Antages åter vinklarnes summa i en 

 triangel vara mindre än två räta, så är den det i alla 

 trianglar och samtidigt är parallelvinkeln mindre än 90 grader. 



Liksom parallelvinkelns storlek är beroende af punktens 

 afstånd från linien, så är äfven summan af vinklarne i en 

 triangel beroende af triangelns storlek. Betrakta vi t. ex. en 

 likbent triangel och dela densamma genom ena höjden i 

 två kongruenta rätvinkliga trianglar, så inses att om sum- 

 man af vinklarne i hvar och en af deltrianglarna är lika 

 med två räta minus a, så blir summan af vinklarna i hvar- 

 dera deltrianglarne sammanlagda lika med fyra räta minus 



15 



