228 



För att fullt kunna uppfatta det berättigade i att upp- 

 ställa en geometri, som ej sammanfaller med den Euclidiska, 

 vill jag i korthet påpeka det sammanhang som existerar 

 emellan den s. k. projektiviska geometrin och den Eucli- 

 diska, eller allmännare den mätande geometrin. 



Den projektiviska geometrin behandlar, för att uttrycka 

 mig populärt, sådana egenskaper hos figurer, som ej gå för- 

 lorade genom projektion. Det hade lyckats att uppbygga 

 denna geometri alldeles oberoende af den mätande geomet- 

 rin genom att såsom grundval för densamma lägga vissa 

 konstruktioner med fyrhörningar och genom att definiera 

 talen såsom s. k. dubbelförhållanden. För att förklara be- 

 greppet dubbelförhållande, vill jag, ehuru detta naturligtvis 

 ej är strängt, begagna mig af föreställningar ur den vanliga 

 geometrin. Yi tänka oss på en rät linie två fasta punkter 

 A och B. En tredje punkt G på linien delar sträckan AB 

 i två delar A C och BC, h vilka stå till hvarandra i ett visst 

 förhållande, som vi kalla ;//. Betrakta vi en fjerde punkt D, 

 så delar denna på samma sätt sträckan AB i ett visst förhål- 

 lande n. Förhållandet m:n emellan dessa två enkla delnings- 

 förhållanden kallas de fyra punkternas A, B, C, D dubbelför- 

 hållande. Det låter visa sig att ett dylikt dubbelförhållande 

 ej förändras genom en vanlig central projektion. Dubbel- 

 förhållandet är alltså en projektivisk relation. 



Den projektiviska geometrin hade, hufvudsakligen ge- 

 nom von Staudts arbeten, utvecklats till en hög grad, utan 

 att man hade lyckats upptäcka något sammanhang emellan 

 densamma och den mätande geometrin. De egenskaper, 

 som i den mätande geometrin betraktas hos figurer, gå nä- 

 stan alla förlorade genom projektion. Så t. ex. öfvergår en 

 cirkel, hvars alla diametrar äro lika stora, genom projektion 

 i en konisk sektioa, ellips, hyperbel eller parabel, för hvilka 

 två förstnämda diamctrarne icke äro lika. Man insåg dock 

 snart att flere så kallade metriska egenskaper kunde tolkas 

 såsom en figurs speciela läge i förhållande till två utmärkta 

 punkter och en speciel rät linie i planet. De två punkterna 

 kallas planets imaginära cirkelpunkter; de ligga i oändlighe- 



