230 



frågan huru den mätande geometrin inordnar sig i den pro- 

 jektiviska geometrin, har man kommit till den allmänna 

 satsen, att metriska relationer i planet äro projekti viska re- 

 lationer af en föreliggande figur till planets imaginära cir- 

 kelpunkter 1 ). 



Sålunda fann den franska geometern Laguerre år 1S53 

 att det, som vi kalla för vinkeln emellan två räta linier, är 

 lika med en konstant multiplicerad med logaritmen för det 

 dubbelförhållande, som vinkels ben bilda med strålarna, som 

 genom vinkelns spets gå till de imaginära cirkelpunkterna. 

 Likaså sättes afståndet emellan två punkter i beroende af 

 de imaginära cirkelpunkterna. Sedan år 1860 har den åsik- 

 ten allmänt gjort sig gällande, att de metriska undersöknin- 

 garne icke behöfva uteslutas från de projektiviska, enär de 

 metriska egenskaperna endast äro uttryck för en figurs läge 

 till en speciel konisk sektion, de imaginära cirkelpunkterna. 



Nu bör uppställandet af följande fråga synas oss när- 

 liggande och väl motiverad: 



Till hvilka bestämningar om afståndet emellan två punk- 

 ter och vinkeln emellan två räta linier kommer man, om man 

 i stället för den .speciela koniska sektionen inför en vanlig 

 reel eller imaginär konisk sektion och till hvilken geometri 

 kommer man utgående ifrån dessa allmännare måttbestäm- 

 ningar 2 )? Den sålunda erhållna geometrin omfattar vår van- 

 liga geometri som ett alldeles specielt fall. 



Vill man t. ex. ställa upp allmänna uttryck för afstån- 

 det emellan två punkter på en rät linie, så hänför man 

 dessa punkter till två fasta punkter på linien och sätter af- 

 ståndet emellan punkterna lika med en konstant multiplice- 

 rad med logaritmen för de fyra punkternas dubbelförhållande. 



De två fasta punkterna kunna nu antagas sålunda, att 

 de äro antingen 



1) konjugerade imaginära punkter, 



2) reela men icke sammanfallande, ' 



l ) Jämför: Salmon-Fiedler. Analytische Geometrie. F. Klein. 

 Ueber Nicht-Euclidische Geometrie. 



-) Cayley. Memoirs upon Quantics. 



