2a i 



3) reela och sammanfallande. 



I det första fallet finner man, att vid lämpligt val af 

 den omnämda multiplikativa konstanten, afståndet emellan 

 två godtyckliga punkter på en rät linie blifver reelt, men 

 att längden af hela obegränsade linien är ändlig. Man 

 kommer sålunda till en föreställning om den räta linien, som 

 ej öfverensstämmer med den Euclidiska uppfattningen. Man 

 kan göra sig en föreställning om att en obegränsad linie 

 kan vara ändlig till sin längd om man tänker sig en sluten 

 kurva, t. ex. en cirkel. De formler, som gälla för den ifråga- 

 varande s. k. elliptiska måttbestämningen, visa äfven att af- 

 ståndet emellan två punkter på en rät linie icke blifver en- 

 tydigt bestämd t, utan är oändligt mångtydigt. Äfven detta 

 förhållande kunna vi åskådliggöra genom att tänka oss två 

 punkter på en cirkelperiferi. Afståndet emellan punkterna är 

 påtagligen oändligt mångtydigt, beroende af att man från 

 den ena punkten kan komma till den andra antingen direkt 

 i den ena eller andra riktningen, eller ock sålunda, att man 

 först tänker sig gå omkring hela cirkeln en. två eller flere 

 gånger. 



2) Äro de två fasta punkterna, till hvilka öfriga punk- 

 ter pä de förstas föreningslinie hänföras, reela men icke 

 sammanfallande, så erhålles en helt annan måttbestämning, 

 som kallas hyperbolisk. Gifves åt den förut omtalade kon- 

 stanten hvarmed dubbelförhållandet skall multipliceras, ett 

 reelt värde, så finner man att afståndet emellan två punkter, 

 som ligga emellan de fasta punkterna A och B, är reelt, 

 deremot är afståndet emellan två punkter, af hvilka den ena 

 ligger emellan, den andra utom punkterna A och B, imagi- 

 närt. Man kommer här till den egendomliga uppfattningen, 

 att afståndet från en godtycklig punkt emellan A och B till 

 hvardera af dessa punkter är oändligt stort, att punkterna 

 A och B således äro att betraktas såsom två oändligt af- 

 lägsna punkter. Om vi tänka oss en punkt röra sig t. ex. 

 ifrån medelpunkten emellan A och B i riktning åt punkten 

 A så, att den på lika tider tillryggalägger hyperboliskt lika 

 vägstycken, så kommer punkten A att uppnås först efter en 



