233 



liska karaktären, men i sjelfva verket år elliptisk eller hy- 

 perbolisk. Jag ville ej uppehålla mig härvid. 



Efter att hafva betraktat punkterna på en rät linie, 

 öfvergå vi till att betrakta punkterna och linierna i ett plan. 



Våra vanliga metriska egenskaper hos figurer i ett plan 

 kunde, såsom vi funno, tolkas som ett specielt läge af en 

 figur till de imaginära cirkelpunkterna, hvilka kanna betrak- 

 tas som en degenererad konisk sektion. I stället för denna 

 speciela koniska sektion införa vi nu en allmän konisk sek- 

 tion, hvilken må vara antingen 1) imaginär 2), reel, eller 3) 

 en som sönderfallit i två punkter. Om det gäller att be- 

 stämma afståndet emellan två punkter, så hänföras dessa 

 till skärningspunkterna emellan deras föreningslinie och den 

 införda koniska sektionen. Vid bestämningen af vinkeln 

 emellan två räta linier, hänföras dessa till tangenterna- från 

 deras skärningspunkt till samma koniska sektion. 



J) Då den införda koniska sektionen är imaginär, så 

 skär hvarje rät linie i planet densamma i två imaginära 

 punkter och då dessa skärningspunkter skola tagas till 

 grundpunkter för måttbestämningen på räta linien, så inses 

 att vi på alla räta linier i planet få en måttbestämning, 

 som vi i det föregående kallat elliptisk. Hvarje obegränsad 

 rät linie i planet har således en ändlig längd, såsom förut 

 påpekats. Det gifves inga oändligt aflägsna element, hvar- 

 ken punkter eller linier, och hvarje rät linie skär således en 

 gifven rät linie i det ändliga. Vid en dylik elliptisk mått- 

 bestämning finnes det ej linier, som kunna sägas vara pa- 

 rallela. Vi se nu tydligt orsaken till att Gauss och Lobat- 

 scheffsky, hvilka hvardera utgingo ifrån antagandet att en 

 rät linie har en oändlig längd, icke kommo att taga i be- 

 traktande möjligheten af en geometri, i hvilken man ifrån 

 en punkt utom en rät linie icke kan draga någon rät linie, 

 som ej skär den första. 



Utvecklar man formlerna, som gälla för denna elliptiska 

 geometri, så finner man att summan af vinklarna i en trian- 

 gel är större än två räta samt att ytinnehållet af det obe- 

 gränsade planet är ändligt. Vidare må det påpekas, att 



