234 



denna clliptiska geometri, vid lämpligt val af den tidigare 

 omnämnda multiplikativa konstanten, öfverensstämmer med 

 den vanliga geometrin på en sfer, den s. k. sferiska geometrin. 



2) Är den såsom grundbild införda koniska sektionen 

 reel, så komma vi till en s. k. hyperbolisk geometri. Jag 

 vill våga försöket att utan anlitande af figurer sätta åhöra- 

 rena in i grunddragen af denna intressanta geometri. 



Betrakta vi en rät linie, som skär koniska sektionen 

 i två reela punkter A och B, samt på denna räta linie två 

 vidare punkter, C och D, så bestämmes afståndet emellan 

 C och D genom att hänföra dem till A och B såsom grund- 

 punkter. Ät den tidigare omtalade multiplikativa konstan- 

 ten gifva vi ett sådant värde att afståndet emellan två punk- 

 ter G och D som ligga emellan A och B, alltså innanför 

 koniska sektionen, är reelt. Dä värdet för den multiplika- 

 tiva konstanten bibehålles oförändradt, erhåller man på alla 

 räta linier, som skära koniska sektionen en s. k. hyperbolisk 

 måttbestämning. Afståndet emellan punkter, hvilkas för- 

 eningslinie ej skär koniska sektionen, blifver imaginärt. Till- 

 lämpa vi de resultat, till hvilka vi kommo vid den hyperbo- 

 liska måttbestämningen, på räta linier hvilka skära vår ko- 

 niska sektion, så inses att afståndet från en godtycklig punkt 

 i det inre af koniska till alla punkter på densamma blir 

 oändligt stort. Tänka vi oss således ett med hyperbolisk 

 uppfattning begåfvadt väsende, så kan detsamma ifrån en 

 punkt i det inre röra sig fritt i alla riktningar och kan på 

 ändlig tid uppnå hvarje punkt inom koniska sektionen. Det- 

 emot framstå punkterna på koniska sektionen såsom oänd- 

 ligt aflägsna punkter, hvilka ej kunna uppnås och punkterna 

 utom koniska sektionen existera ej för väsendet; hela det 

 yttre bildar så att säga att ideelt område. Ju större koniska 

 sektionen tages, desto mer närma vi oss vår vanliga mått- 

 bestämning och tänka vi oss koniska sektionen såsom oänd- 

 ligt stor, så inses att på alla räta linier i planet skärnings- 

 punkterna A och B komma att sammanfalla i oändligheten, 

 att vi således på alla räta linier hafva en parabolisk mått- 

 bestämning, af hvilken den Euclidiska är ett specielt fall. 



