236 



rät lime; dessa pärallellinier åtskilja från hvarandra de 



strålar, som utgå ifrån punkten P och skära vår linie, ifrån 

 dem, som icke skära linien. Vinkeln emellan pärallellinier na 

 är tydligen beroende af punktens P läge till den gifna linien. 



Den hyperboliska måttbestämningen har således fört 

 oss till den uppfattning, som Lobatscheffsky lade till grund 

 för sin geometri. Kunde Lobatscheffsky' s utgångspunkt an- 

 ses sökt, så måste det medges af hvar och en, som helst 

 litet lyckats följa med den föregående utvecklingen, att vi 

 nu på ett särdeles osökt sätt kommit till Lobatscheffsky' s 

 utgångspunkt. 



Den vidare utvecklingen af den hyperboliska geometrin 

 kan nu föras på rent analytisk väg. Man finner sålunda att 

 summan af vinklarnc i en triangel är mindre än två räta 

 och på grund af det föregående inses äfven att denna summa 

 är beroende af triangelns storlek, ty ju närmare hörnpunk- 

 terna komma till den absoluta koniska sektionen desto min- 

 dre blifva vinklarna. Tänker man sig en triangel, hvars tre 

 hörnpunkter ligga på koniska sektionen, så är vinkelsumman 

 i en dylik triangel lika med noll. Häraf följer åter att det 

 gifves ett maximum för triangelns ytinnehåll. Här må det 

 påpekas att. Gauss redan år 1799 i ett bref till Bolyai skrif- 

 ver; „om man antager att det ej finnes en öfre gräns för 

 triangelns ytinnehåll, så kan "man bevisa Euclides axiom om 

 parallela räta linier". 



Kasta vi nu en återblick på det föregående, så. se vi 

 att det i den elliptiska geometrin genom en punkt ej kan 

 dragas någon rät linie, som ej skär en gifven rät linie, i den 

 vanliga eller Euclidiska geometrin finnes det endast en rät 

 linie, som går genom punkten och ej skär den gifna linien, 

 och i den hyperboliska geometrin finnes det oändligt många 

 räta linier, som gå genom punkten och icke skära den gifna 

 linien. Likaså funno vi att summan af vinklarne i en trian- 

 gel i den elliptiska geometrin är större än två räta, i den 

 vanliga lika med två räta, och i den hyperboliska mindre 

 än två räta. Den vanliga geometrin bildar således en öf- 

 vergång från den elliptiska till den hyperboliska geometrin 



