237 



eller omvändt. Den Euclidiska geometrin kan sägas utgöra 

 ett gränsfall af såväl den elliptiska som den hyperboliska 

 geometrin. 



3) Antar man den absoluta koniska sektionen som ett 

 par imaginära punkter, så erhåller man vid lämpligt val af 

 den ofta omnämda multiplikativa konstanten en geometri, 

 som kallas parabolisk och som utgör ett gränsfall af den 

 elliptiska och af den hyperboliska geometrin. Låter man 

 spccielt de två imaginära punkterna sammanfalla med de 

 imaginära cirkelpunkterna, så erhäiles vår vanliga geometri, 

 som således är ett specielt fall af den allmännare paraboliska 

 geometrin. 



Vi hafva sålunda funnit alt det axiom, som Euclides 

 lade till grund för sin geometri, ingalunda är nödvändigt. 

 Det är en hypotes, som uttalar vår föreställning om rymden 

 och hvars sannolikhet inom gränserna för vår iakttagelse 

 är stor, men hvars riktighet för mycket stora eller mycket 

 små utsträckningar vi äro skyldiga att undersöka. Så långt 

 teleskåpet når, synes den Euclidiska hypotesen vara riktig, 

 man huru förhållandena gestalta sig i oändligt stora utsträck- 

 ningar, derom kunna vi ännu ej med säkerhet uttala oss. 



De formler, som i planet härledas för den elliptiska 

 och hyperboliska geometrin, hafva naturligtvis i och för sig 

 en alldeles reel betydelse, men de lyckas måhända för den, 

 som första gången hör talas om dem, tillvinna sig ett större 

 intresse, då jag meddelar att det finnes bugtiga ytor, för 

 hvilka dessa formler gälla. Om man ville ställa upp frågan: 

 på hvilka bugtiga ytor kan man uppkonstruera ett geome- 

 triskt system, så inses, då man besinnar att planets för- 

 nämsta egenskap är att kunna förskjutas i sig sjelf, vid 

 hvilken förskjutning i den Euclidiska måttbestämningen alla 

 figurer bibehålla sin storlek, att man kan uppbygga en med 

 den Euclidiska analog geometri på sådana ytor, som hafva 

 egenskapen att kunna förskjutas i sig sjclfva utan att dervid 

 sammanpressas eller uttöjas. Ty endast då kan man ju flytta 

 en figur, som är uppritad på ett ställe af ytan, till ett annat 

 utan att figurens storlek förändras. 



